問題3: ベクトルの絶対値 $|a|=1$, $|b|=2$ で、ベクトル $a$ とベクトル $b$ のなす角が $135^\circ$ のとき、内積 $a \cdot b$ の値を求めよ。 問題4: ベクトルの絶対値 $|a|=1$, $|b|=2$ で、内積 $a \cdot b = -1$ のとき、ベクトル $a$ とベクトル $b$ のなす角 $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題3:

ベクトルの絶対値 $|a|=1$, $|b|=2$ で、ベクトル $a$ とベクトル $b$ のなす角が $135^\circ$ のとき、内積 $a \cdot b$ の値を求めよ。

問題4:

ベクトルの絶対値 $|a|=1$, $|b|=2$ で、内積 $a \cdot b = -1$ のとき、ベクトル $a$ とベクトル $b$ のなす角 $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題3:

ベクトルの内積の定義より、

$a \cdot b = |a| |b| \cos{\theta}$

である。

問題文より、$|a| = 1$, $|b| = 2$, $\theta = 135^\circ$ なので、

$a \cdot b = 1 \cdot 2 \cdot \cos{135^\circ}$

$\cos{135^\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、

$a \cdot b = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$a \cdot b = -\sqrt{2}$

問題4:

ベクトルの内積の定義より、

$a \cdot b = |a| |b| \cos{\theta}$

である。

問題文より、$|a| = 1$, $|b| = 2$, $a \cdot b = -1$ なので、

$-1 = 1 \cdot 2 \cdot \cos{\theta}$

$-1 = 2 \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = -\frac{1}{2}$

よって、

$\theta = 120^\circ$

3. 最終的な答え

問題3:

$a \cdot b = -\sqrt{2}$

問題4:

$\theta = 120^\circ$