平面上に点Oと異なる点A($\vec{a}$)があります。この平面上で、ベクトル方程式 $\vec{p} \cdot \vec{p} - \vec{a} \cdot \vec{p} = 0$ はどのような図形を表すか。

1. 問題の内容

平面上に点Oと異なる点A($\vec{a}$)があります。この平面上で、ベクトル方程式 $\vec{p} \cdot \vec{p} - \vec{a} \cdot \vec{p} = 0$ はどのような図形を表すか。

2. 解き方の手順

$\vec{p}$ を位置ベクトルとする点Pを考える。

与えられたベクトル方程式は、

$\vec{p} \cdot \vec{p} - \vec{a} \cdot \vec{p} = 0$

$\vec{p} \cdot \vec{p} = |\vec{p}|^2$ および $\vec{a} \cdot \vec{p} = \vec{p} \cdot \vec{a}$ であるから、

$|\vec{p}|^2 - \vec{p} \cdot \vec{a} = 0$

ここで、$\vec{p} = \vec{OP}$ と $\vec{a} = \vec{OA}$ を用いると、

$\vec{p} \cdot \vec{p} - \vec{a} \cdot \vec{p} = 0$

$\vec{OP} \cdot \vec{OP} - \vec{OA} \cdot \vec{OP} = 0$

$\vec{OP} \cdot (\vec{OP} - \vec{OA}) = 0$

$\vec{OP} \cdot \vec{AP} = 0$

これは $\vec{OP} \perp \vec{AP}$ を意味する。すなわち、$\angle OPA = 90^{\circ}$。

点Pは、線分OAを直径とする円周上の点である。（ただし、点Oを除く）。

3. 最終的な答え

線分OAを直径とする円（ただし、点Oを除く）