異なる4点O, A, B, Cについて、ベクトルに関する条件 $4\overrightarrow{OB} = 3\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA}$ が与えられている。このとき、3点A, B, Cが同一直線上にあることを示す問題です。

1. 問題の内容

異なる4点O, A, B, Cについて、ベクトルに関する条件 $4\overrightarrow{OB} = 3\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA}$ が与えられている。このとき、3点A, B, Cが同一直線上にあることを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件式を変形して、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の関係式を求めます。

$4\overrightarrow{OB} = 3\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA}$

この式から $\overrightarrow{OA}$ を引くと、

$4\overrightarrow{OB} - 4\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA} - 4\overrightarrow{OA}$

$4(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = 3\overrightarrow{OC} - 3\overrightarrow{OA}$

$4\overrightarrow{AB} = 3(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA})$

$4\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC}$

したがって、

$\overrightarrow{AB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

この式は、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ がベクトル $\overrightarrow{AC}$ の定数倍で表されることを示しています。これは、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ とベクトル $\overrightarrow{AC}$ が平行であることを意味します。Aは共通の点であるため、3点A, B, Cは同一直線上にあります。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$ より、3点A, B, Cは同一直線上にある。