四角形ABCDは$AD // BC$の台形であり、辺BC上に点Eを$\angle AEB = \angle DCB$となるようにとるとき、四角形AECDが平行四辺形であることを証明する。

1. 問題の内容

四角形ABCDは$AD // BC$の台形であり、辺BC上に点Eを$\angle AEB = \angle DCB$となるようにとるとき、四角形AECDが平行四辺形であることを証明する。

2. 解き方の手順

平行四辺形であることを証明するためには、以下のいずれかを示す必要がある。

* 2組の対辺がそれぞれ平行である。

* 2組の対辺がそれぞれ等しい。

* 2組の対角がそれぞれ等しい。

* 対角線がそれぞれの中点で交わる。

* 1組の対辺が平行で、かつその長さが等しい。

今回は、1組の対辺が平行であることは仮定されているので、もう1組の対辺が平行であることを示す。

1. $AD // BC$より、$\angle ADC + \angle DCB = 180^{\circ}$ (同側内角の和)。

2. 仮定より、$\angle AEB = \angle DCB$。

3. $\angle AEB + \angle AEC = 180^{\circ}$ (一直線上の角)。

4. 2と3より、$\angle AEC = 180^{\circ} - \angle AEB = 180^{\circ} - \angle DCB$。

5. 1と4より、$\angle ADC + \angle DCB = \angle ADC + (180^{\circ} - \angle AEC) = 180^{\circ}$。

したがって、$\angle ADC = \angle AEC$。

6. $\angle ADC$と$\angle AEC$は同位角なので、$AE // DC$。

7. 仮定より$AD // EC$、かつ$AE // DC$なので、四角形AECDは平行四辺形である。

3. 最終的な答え

四角形AECDは平行四辺形である。（証明終わり）