$a > 0$ とする。関数 $f(x) = ax^2 - 4ax + b$ ($1 \le x \le 4$) の最大値が $4$, 最小値が $-10$ のとき、定数 $a$, $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a > 0$ とする。関数 $f(x) = ax^2 - 4ax + b$ ($1 \le x \le 4$) の最大値が $4$, 最小値が $-10$ のとき、定数 $a$, $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = a(x^2 - 4x) + b = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + b = a(x - 2)^2 - 4a + b$

軸は $x = 2$ である。区間 $1 \le x \le 4$ に軸が含まれるので、$x = 2$ で最小値をとる。

最小値は $f(2) = -4a + b = -10$

$a > 0$ なので、グラフは下に凸の放物線である。

$x = 2$ から最も離れた点で最大値をとる。区間 $1 \le x \le 4$ より、$x = 4$ で最大値をとる。

最大値は $f(4) = a(4 - 2)^2 - 4a + b = 4a - 4a + b = b = 4$

$-4a + b = -10$ に $b = 4$ を代入すると、$-4a + 4 = -10$

$-4a = -14$ より $a = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{7}{2}$

$b = 4$