与えられた2次式 $2x^2 + 5x + 3$ を因数分解し、 $(x + \text{ア})( \text{イ} x + \text{ウ})$ の形に表す時の、ア、イ、ウにあてはまる数を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $2x^2 + 5x + 3$ を因数分解し、 $(x + \text{ア})( \text{イ} x + \text{ウ})$ の形に表す時の、ア、イ、ウにあてはまる数を求める。

2. 解き方の手順

与えられた2次式 $2x^2 + 5x + 3$ を因数分解する。

2次式を因数分解する際、以下の手順で行う。

まず、$2x^2 + 5x + 3$ を $(ax + b)(cx + d)$ の形に分解することを考える。

$ac = 2$ かつ $bd = 3$ となるように $a, b, c, d$ を定める。

また、$ad + bc = 5$ となるように $a, b, c, d$ を定める必要がある。

$ac = 2$ となる組み合わせとして、$a = 1, c = 2$ または $a = 2, c = 1$ が考えられる。

$bd = 3$ となる組み合わせとして、$b = 1, d = 3$ または $b = 3, d = 1$ が考えられる。

これらの組み合わせを試していく。

(1) $a = 1, c = 2, b = 1, d = 3$ の場合：

$ad + bc = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2 = 3 + 2 = 5$ となり、条件を満たす。

よって、$2x^2 + 5x + 3 = (x + 1)(2x + 3)$ となる。

(2) $a = 1, c = 2, b = 3, d = 1$ の場合：

$ad + bc = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 1 + 6 = 7$ となり、条件を満たさない。

(3) $a = 2, c = 1, b = 1, d = 3$ の場合：

$ad + bc = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 = 6 + 1 = 7$ となり、条件を満たさない。

(4) $a = 2, c = 1, b = 3, d = 1$ の場合：

$ad + bc = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5$ となり、条件を満たす。

よって、$2x^2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1)$ となる。

したがって、$2x^2 + 5x + 3 = (x + 1)(2x + 3)$ となる。

$(x + \text{ア})(\text{イ}x + \text{ウ})$ の形と比較すると、ア = 1, イ = 2, ウ = 3 となる。

3. 最終的な答え

ア = 1

イ = 2

ウ = 3