与えられた式 $(a+b)c^2 + (b+c)a^2 + (c+a)b^2 + 2abc$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)c^2 + (b+c)a^2 + (c+a)b^2 + 2abc$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$(a+b)c^2 + (b+c)a^2 + (c+a)b^2 + 2abc = ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + ab^2 + 2abc$

次に、式を整理します。一般的には、$a$ について整理するのが良いでしょう。

$ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + ab^2 + 2abc = (b+c)a^2 + (b^2 + 2bc + c^2)a + bc(b+c)$

$= (b+c)a^2 + (b+c)^2a + bc(b+c)$

$(b+c)$ でくくり出すことができます。

$(b+c)a^2 + (b+c)^2a + bc(b+c) = (b+c)[a^2 + (b+c)a + bc]$

さらに、括弧内を因数分解します。

$a^2 + (b+c)a + bc = (a+b)(a+c)$

したがって、全体の式は

$(b+c)[a^2 + (b+c)a + bc] = (b+c)(a+b)(a+c)$

となります。

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$