クインケ管という装置において、音を点Pから入れ、点Qから出る音を聞く。装置を改良し、管Aと管Bを同じ長さだけスライドできるようにした。管Aを押し縮め、管Bを引き抜いた時、音の大きさが元に戻るために必要な変化量を、音の波長 $\lambda$ を用いて求める。

1. 問題の内容

クインケ管という装置において、音を点Pから入れ、点Qから出る音を聞く。装置を改良し、管Aと管Bを同じ長さだけスライドできるようにした。管Aを押し縮め、管Bを引き抜いた時、音の大きさが元に戻るために必要な変化量を、音の波長 $\lambda$ を用いて求める。

2. 解き方の手順

クインケ管では、2つの経路を通る音の干渉によって音が大きくなったり小さくなったりする。音の大きさが元に戻るためには、2つの経路の長さの差が元の状態に戻る必要がある。管Aを縮め、管Bを伸ばすことによって、経路の長さの差が変化する。

管Aを$x$だけ押し縮め、管Bを$x$だけ引き抜いたとする。管Aの長さは$x$だけ短くなり、管Bの長さは$x$だけ長くなる。2つの経路の長さの差は$2x$だけ変化する。

音の大きさが元に戻るためには、この長さの差の変化が波長の整数倍である必要がある。つまり、

$2x = n\lambda$ （$n$は整数）

ここで、$n=1$の場合を考えると、最小の変化量が得られる。

$2x = \lambda$

$x = \frac{\lambda}{2}$

3. 最終的な答え

音が元の大きさに戻るのは、管Aを$\frac{\lambda}{2}$だけ押し縮め、管Bを$\frac{\lambda}{2}$だけ引き抜いたときである。