色の異なる8個の玉を、2個、3個、3個の3つのグループに分ける方法の総数を求めます。

1. 問題の内容

色の異なる8個の玉を、2個、3個、3個の3つのグループに分ける方法の総数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、8個の玉から2個を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは組み合わせの記号で $_8C_2$ と表され、次のように計算できます。

$_8C_2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

次に、残りの6個の玉から3個を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは $_6C_3$ と表され、次のように計算できます。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

最後に、残りの3個の玉は自動的に最後のグループに入ります。組み合わせは$_3C_3 = 1$です。

ただし、3個のグループが2つあるため、同じ分け方が重複して数えられています。2つの同じグループの並べ替えは区別する必要がないため、2!で割る必要があります。

したがって、総数は次のようになります。

$\frac{_8C_2 \times _6C_3 \times _3C_3}{2!} = \frac{28 \times 20 \times 1}{2} = \frac{560}{2} = 280$

3. 最終的な答え

280通り