問題20は以下の通りです。 3点A(-1, 5), B(-2, 2), C(3, 3)に対して、 (1) 点Dの座標を(x, y)とするとき、ベクトルAD, ベクトルBCを成分表示せよ。 (2) 四角形ABCDが平行四辺形になるような点Dの座標を求めよ。

1. 問題の内容

問題20は以下の通りです。

3点A(-1, 5), B(-2, 2), C(3, 3)に対して、

(1) 点Dの座標を(x, y)とするとき、ベクトルAD, ベクトルBCを成分表示せよ。

(2) 四角形ABCDが平行四辺形になるような点Dの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

ベクトルADは、点D(x, y)と点A(-1, 5)を用いて、

$\overrightarrow{AD} = (x - (-1), y - 5) = (x + 1, y - 5)$

ベクトルBCは、点C(3, 3)と点B(-2, 2)を用いて、

$\overrightarrow{BC} = (3 - (-2), 3 - 2) = (5, 1)$

(2)

四角形ABCDが平行四辺形になるためには、ベクトルADとベクトルBCが等しくなければならない。つまり、

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$

成分ごとに比較すると、

$x + 1 = 5$

$y - 5 = 1$

これらの式を解くと、

$x = 4$

$y = 6$

したがって、点Dの座標は(4, 6)である。

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AD} = (x+1, y-5)$, $\overrightarrow{BC} = (5, 1)$

(2) D(4, 6)