長方形ABCDにおいて、AB=3, AD=4である。辺AB, BC, DA上にそれぞれ点P, Q, Rをとり、AP=2x, CQ=x, DR=3xとする。三角形PQRの面積の最小値とそのときのxの値を求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、AB=3, AD=4である。辺AB, BC, DA上にそれぞれ点P, Q, Rをとり、AP=2x, CQ=x, DR=3xとする。三角形PQRの面積の最小値とそのときのxの値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、長方形ABCDの面積を求める。

$S_{ABCD} = AB \times AD = 3 \times 4 = 12$

次に、三角形APR, PBQ, QCRの面積をそれぞれxで表す。

$AP = 2x$より、$PB = 3 - 2x$。また、$CQ = x$より、$BQ = 4 - x$。そして、$DR = 3x$より、$AR = 4 - 3x$。

したがって、

$S_{APR} = \frac{1}{2} \times AP \times AR = \frac{1}{2} \times 2x \times (4-3x) = x(4-3x) = 4x - 3x^2$

$S_{PBQ} = \frac{1}{2} \times PB \times BQ = \frac{1}{2} \times (3-2x) \times (4-x) = \frac{1}{2} (12 - 3x - 8x + 2x^2) = \frac{1}{2} (12 - 11x + 2x^2) = 6 - \frac{11}{2}x + x^2$

$S_{QCR} = \frac{1}{2} \times QC \times CR = \frac{1}{2} \times x \times 3 = \frac{3}{2}x$

三角形PQRの面積は、長方形ABCDの面積から三角形APR, PBQ, QCRの面積を引いたものなので、

$S_{PQR} = S_{ABCD} - (S_{APR} + S_{PBQ} + S_{QCR})$

$= 12 - (4x - 3x^2 + 6 - \frac{11}{2}x + x^2 + \frac{3}{2}x)$

$= 12 - (6 + 4x - \frac{11}{2}x + \frac{3}{2}x - 3x^2 + x^2)$

$= 12 - (6 - 2x^2)$

$= 6 + 2x^2$

ここで、xの範囲を考える。

$0 \le AP \le AB$より、$0 \le 2x \le 3$なので、$0 \le x \le \frac{3}{2}$

$0 \le CQ \le BC$より、$0 \le x \le 4$

$0 \le DR \le DA$より、$0 \le 3x \le 4$なので、$0 \le x \le \frac{4}{3}$

したがって、$0 \le x \le \frac{3}{2}$ かつ $0 \le x \le 4$ かつ $0 \le x \le \frac{4}{3}$を満たす必要があるため、$0 \le x \le \frac{4}{3}$となる。

$S_{PQR} = 6 + 2x^2$は、$x \ge 0$において単調増加なので、$x = 0$のときに最小値を取る。

$S_{PQR}$の最小値は、$6 + 2(0)^2 = 6$

ただし、問題文をよく読むと、$x$はいろいろな値をとって変化するとあるので、最小値を取るときは、与えられた定義域の両端のどちらかとなる。$x = 0$のとき、$S_{PQR} = 6$であり、$x = \frac{4}{3}$のとき、$S_{PQR} = 6 + 2(\frac{4}{3})^2 = 6 + 2(\frac{16}{9}) = 6 + \frac{32}{9} = \frac{54 + 32}{9} = \frac{86}{9} \approx 9.56$

したがって、$S_{PQR}$の最小値は6である。

3. 最終的な答え

三角形PQRの面積の最小値は6であり、そのときのxの値は0である。