直角三角形ABCに内接する円の斜線部分の面積を求める問題です。三角形の辺の長さは、AB=20cm, BC=16cm, AC=12cmです。

1. 問題の内容

直角三角形ABCに内接する円の斜線部分の面積を求める問題です。三角形の辺の長さは、AB=20cm, BC=16cm, AC=12cmです。

2. 解き方の手順

(1) 円の半径を求める。

直角三角形ABCの面積を2通りの方法で表すことを考えます。

まず、通常の三角形の面積の公式を用いると、

$S = \frac{1}{2} \times BC \times AC = \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96$

次に、内接円の半径を$r$とすると、三角形ABCの面積は、三角形OAB, OBC, OCAの面積の和として表すことができます。

$S = \frac{1}{2} \times AB \times r + \frac{1}{2} \times BC \times r + \frac{1}{2} \times AC \times r = \frac{1}{2}r(AB+BC+AC)$

$AB+BC+AC=20+16+12=48$だから

$S = \frac{1}{2} \times r \times 48 = 24r$

したがって、$24r = 96$より、$r = 4$

(2) 斜線部分の面積を求める。

斜線部分は円の面積なので、半径$r=4$cmの円の面積は、

$S_{円} = \pi r^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi$

3. 最終的な答え

$16\pi$ cm$^2$