不等式 $\sqrt{3x+1} < 2x-1$ を満たす最小の整数 $x$ を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{3x+1} < 2x-1$ を満たす最小の整数 $x$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式が定義されるためには根号の中身が0以上である必要があります。したがって、

$3x+1 \ge 0$

$x \ge -\frac{1}{3}$

また、$2x-1$ が正の値である必要があります。したがって

$2x - 1 > 0$

$x > \frac{1}{2}$

与えられた不等式の両辺を2乗すると、以下のようになります。

$(\sqrt{3x+1})^2 < (2x-1)^2$

$3x+1 < 4x^2 - 4x + 1$

$0 < 4x^2 - 7x$

$4x^2 - 7x > 0$

$x(4x-7) > 0$

この不等式を解くと、$x<0$ または $x>\frac{7}{4}$ となります。

ここで、$x \ge -\frac{1}{3}$ および $x > \frac{1}{2}$ という条件がありました。これらを考慮すると、$x>\frac{7}{4}$ が解の範囲となります。

$\frac{7}{4} = 1.75$ なので、$x>1.75$ を満たす最小の整数は $2$ です。

3. 最終的な答え

2