(ア) $x^3 + y^3 - 3xy + 1$ を因数分解せよ。 (イ) $a^3 - 8b^3 + 12ab + 8$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

(ア) $x^3 + y^3 - 3xy + 1$ を因数分解せよ。

(イ) $a^3 - 8b^3 + 12ab + 8$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

(ア)

まず、$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ を利用する。

$x^3 + y^3 - 3xy + 1$ を $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ の形に近づける。

$1 = 1^3$ より、$z = 1$ と考えられる。

このとき、$x^3 + y^3 + 1^3 - 3xy(1) = x^3 + y^3 + 1 - 3xy$ となり、与えられた式と一致する。

よって、$x^3 + y^3 - 3xy + 1 = (x+y+1)(x^2 + y^2 + 1^2 - xy - y(1) - x(1)) = (x+y+1)(x^2 + y^2 + 1 - xy - y - x)$

(イ)

$a^3 - 8b^3 + 12ab + 8$ を因数分解する。

$-8b^3 = (-2b)^3$ であり、$8 = 2^3$ であることに注目する。

$a^3 + (-2b)^3 + 2^3 - 3a(-2b)(2) = a^3 - 8b^3 + 8 + 12ab$ となる。

よって、$a^3 - 8b^3 + 12ab + 8 = a^3 + (-2b)^3 + 2^3 - 3(a)(-2b)(2)$ となる。

したがって、$a^3 - 8b^3 + 12ab + 8 = (a - 2b + 2)(a^2 + 4b^2 + 4 - a(-2b) - (-2b)(2) - 2a)$

$= (a - 2b + 2)(a^2 + 4b^2 + 4 + 2ab + 4b - 2a)$

3. 最終的な答え

(ア) $(x+y+1)(x^2 + y^2 -xy - x - y + 1)$

(イ) $(a-2b+2)(a^2 + 4b^2 + 2ab - 2a + 4b + 4)$