与えられた2つのベクトル $a$ と $b$ に対して、それらの外積 $a \times b$ を計算し、ベクトル $a$ と $b$ を二辺とする平行四辺形の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2つのベクトル $a$ と $b$ に対して、それらの外積 $a \times b$ を計算し、ベクトル $a$ と $b$ を二辺とする平行四辺形の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

外積は以下のように計算できます。

$a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$

$a \times b = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}$

平行四辺形の面積 $S$ は外積の大きさ $|a \times b|$ で与えられます。

$S = |a \times b| = \sqrt{(a_2 b_3 - a_3 b_2)^2 + (a_3 b_1 - a_1 b_3)^2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2}$

(1)

$a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

$a \times b = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 - 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 1 - 1 \cdot 3 \\ 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 3 \\ 3 - 3 \\ 1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

$S = |a \times b| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10}$

(2)

$a = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

$a \times b = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 - 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot (-2) - (-2) \cdot 3 \\ (-2) \cdot 0 - 1 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 0 \\ -8 + 6 \\ 0 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$

$S = |a \times b| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17}$

(3)

$a = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}$

$a \times b = \begin{pmatrix} 0 \cdot 5 - (-1) \cdot 1 \\ (-1) \cdot 2 - 2 \cdot 5 \\ 2 \cdot 1 - 0 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 1 \\ -2 - 10 \\ 2 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -12 \\ 2 \end{pmatrix}$

$S = |a \times b| = \sqrt{1^2 + (-12)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 144 + 4} = \sqrt{149}$

(4)

$a = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$a \times b = \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 - 4 \cdot 3 \\ 4 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 3 - 3 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 12 \\ 0 - 2 \\ 6 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$

$S = |a \times b| = \sqrt{(-9)^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 4 + 36} = \sqrt{121} = 11$

3. 最終的な答え

(1) $a \times b = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$, $S = \sqrt{10}$

(2) $a \times b = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$, $S = \sqrt{17}$

(3) $a \times b = \begin{pmatrix} 1 \\ -12 \\ 2 \end{pmatrix}$, $S = \sqrt{149}$

(4) $a \times b = \begin{pmatrix} -9 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$, $S = 11$