数列の極限を求める問題です。 (1) $a_n = \frac{\sqrt{3n^2+1}}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n}}$ (2) $b_n = \frac{1}{n - \sqrt{n^2+n}}$ (3) $c_n = \sqrt{n-3} - \sqrt{n}$

はい、承知いたしました。以下の形式で問題(1),(2),(3)を解きます。

1. 問題の内容

数列の極限を求める問題です。

(1) $a_n = \frac{\sqrt{3n^2+1}}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n}}$

(2) $b_n = \frac{1}{n - \sqrt{n^2+n}}$

(3) $c_n = \sqrt{n-3} - \sqrt{n}$

2. 解き方の手順

(1)

分子と分母をそれぞれ $n$ で割ります。

$a_n = \frac{\sqrt{3n^2+1}}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n^2(3+\frac{1}{n^2})}}{\sqrt{n^2(1+\frac{1}{n^2})}+\sqrt{n}} = \frac{n\sqrt{3+\frac{1}{n^2}}}{n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{n}}$

ここで分子と分母を$\sqrt{n}$で割ると、

$a_n = \frac{\sqrt{n}\sqrt{3+\frac{1}{n^2}}}{\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}$

$n\to \infty$ のとき $\frac{1}{n^2} \to 0$ より、$a_n \to \infty$.

もう少し丁寧に計算すると、

分子と分母を $n$ で割ると,

$a_n = \frac{\sqrt{3+\frac{1}{n^2}}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+\frac{1}{\sqrt{n}}} \to \frac{\sqrt{3}}{1+0} = \sqrt{3}$

(2)

分母を有理化します。

$b_n = \frac{1}{n - \sqrt{n^2+n}} = \frac{n + \sqrt{n^2+n}}{(n - \sqrt{n^2+n})(n + \sqrt{n^2+n})} = \frac{n + \sqrt{n^2+n}}{n^2 - (n^2+n)} = \frac{n + \sqrt{n^2+n}}{-n} = -1 - \sqrt{1 + \frac{1}{n}}$

$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{n} \to 0$ より、 $b_n \to -1 - \sqrt{1+0} = -1-1 = -2$

(3)

有理化を行います。

$c_n = \sqrt{n-3} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n-3} - \sqrt{n})(\sqrt{n-3} + \sqrt{n})}{\sqrt{n-3} + \sqrt{n}} = \frac{(n-3) - n}{\sqrt{n-3} + \sqrt{n}} = \frac{-3}{\sqrt{n-3} + \sqrt{n}}$

$n \to \infty$ のとき $\sqrt{n-3} \to \infty$ および $\sqrt{n} \to \infty$ より $\sqrt{n-3} + \sqrt{n} \to \infty$。

したがって、 $c_n \to 0$。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}$

(2) $-2$

(3) $0$