Oを頂点とする正四角錐O-ABCDがあり、$|OA| = 2$, $|AB| = 1$を満たします。OB, ODの中点をそれぞれL, Nとします。辺OC上に点Mをとり、4点A, L, M, Nが同一平面上になるようにします。 (1) $|OM|$の長さを求めます。 (2) 平面ABCDと平面ALMNのなす角を$\theta$とするとき、$\cos \theta$を求め、さらに四角形ALMNの面積を求めます。 (3) 四角錐O-ALMNの体積を求めます。

1. 問題の内容

Oを頂点とする正四角錐O-ABCDがあり、$|OA| = 2$, $|AB| = 1$を満たします。OB, ODの中点をそれぞれL, Nとします。辺OC上に点Mをとり、4点A, L, M, Nが同一平面上になるようにします。

(1) $|OM|$の長さを求めます。

(2) 平面ABCDと平面ALMNのなす角を$\theta$とするとき、$\cos \theta$を求め、さらに四角形ALMNの面積を求めます。

(3) 四角錐O-ALMNの体積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $|OM|$を求める。

点L, NはそれぞれOB, ODの中点なので、$OL = \frac{1}{2}OB$, $ON = \frac{1}{2}OD$です。

また、A, L, M, Nは同一平面上にあるので、ある実数$s, t$が存在して、

$\vec{OM} = s\vec{OA} + t\vec{OL} + (1-s-t)\vec{ON}$

が成り立ちます。

$\vec{OL} = \frac{1}{2}\vec{OB}$, $\vec{ON} = \frac{1}{2}\vec{OD}$なので、

$\vec{OM} = s\vec{OA} + \frac{t}{2}\vec{OB} + \frac{1-s-t}{2}\vec{OD}$

ここで、A, B, C, Dは正方形の頂点であり、OからABCDに下ろした垂線の足をHとすると、Hは正方形の中心になります。

したがって、$\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB} - \vec{OD}$なので、

$\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OD}$は一次独立です。

したがって、

$\vec{OM} = k\vec{OC} = k\vec{OA} + k\vec{OB} + k\vec{OD}$

と表せるので、

$s = k, \frac{t}{2} = k, \frac{1-s-t}{2} = k$

$s = k, t = 2k, 1-k-2k = 2k$

$1 = 5k$

$k = \frac{1}{5}$

$\vec{OM} = \frac{1}{5}\vec{OC}$より、$|OM| = \frac{1}{5}|OC|$

$|OA| = |OB| = |OC| = |OD| = 2$なので、$|OM| = \frac{2}{5}$

(2) 平面ABCDと平面ALMNのなす角$\theta$に対して$\cos \theta$を求め、四角形ALMNの面積を求めます。

まず、四角形ALMNの面積を求めます。L, NはそれぞれOB, ODの中点なので、$|OL| = |ON| = 1$です。

$\vec{OA}$, $\vec{OL}$, $\vec{OM}$, $\vec{ON}$は同一平面上にあるので、四角形ALMNは台形になります。

また、$\vec{OA} = (1,0, \sqrt{3})$, $\vec{OB} = (0,1, \sqrt{3})$とすると、

$\vec{OL} = \frac{1}{2}\vec{OB} = (0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

$\vec{OM} = \frac{1}{5}\vec{OC} = \frac{1}{5}(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, h)$

$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = \vec{ON} - \frac{1}{5}(\vec{OA} + \vec{OB})$

$\vec{ON} = (0,-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$

$\cos \theta$を求める。

(3) 四角錐O-ALMNの体積を求めます。

3. 最終的な答え

(1) $|OM| = \frac{2}{5}$