(1) 半径6cmのおうぎ形Aと、半径3cm, 中心角120°のおうぎ形Bの面積が同じとき、おうぎ形Aの中心角の大きさを求めなさい。 (2) 半径8cm, 中心角150°のおうぎ形Aと、弧の長さが同じで半径が6cmのおうぎ形Bがあります。おうぎ形Bの中心角の大きさを求めなさい。

1. 問題の内容

(1) 半径6cmのおうぎ形Aと、半径3cm, 中心角120°のおうぎ形Bの面積が同じとき、おうぎ形Aの中心角の大きさを求めなさい。

(2) 半径8cm, 中心角150°のおうぎ形Aと、弧の長さが同じで半径が6cmのおうぎ形Bがあります。おうぎ形Bの中心角の大きさを求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) おうぎ形Bの面積を求める。おうぎ形の面積は $\pi r^2 \times \frac{中心角}{360}$ で計算できるので、おうぎ形Bの面積は、

$\pi \times 3^2 \times \frac{120}{360} = \pi \times 9 \times \frac{1}{3} = 3\pi$

おうぎ形Aの面積も $3\pi$ である。おうぎ形Aの半径は6cmなので、中心角を $x$ とすると、

$\pi \times 6^2 \times \frac{x}{360} = 3\pi$

$36\pi \times \frac{x}{360} = 3\pi$

$\frac{x}{360} = \frac{3\pi}{36\pi} = \frac{1}{12}$

$x = \frac{360}{12} = 30$

おうぎ形Aの中心角は30°。

(2) おうぎ形Aの弧の長さを求める。おうぎ形の弧の長さは $2\pi r \times \frac{中心角}{360}$ で計算できるので、おうぎ形Aの弧の長さは、

$2\pi \times 8 \times \frac{150}{360} = 16\pi \times \frac{5}{12} = \frac{20}{3}\pi$

おうぎ形Bの弧の長さも $\frac{20}{3}\pi$ である。おうぎ形Bの半径は6cmなので、中心角を $y$ とすると、

$2\pi \times 6 \times \frac{y}{360} = \frac{20}{3}\pi$

$12\pi \times \frac{y}{360} = \frac{20}{3}\pi$

$\frac{y}{360} = \frac{20\pi}{3} \times \frac{1}{12\pi} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$

$y = 360 \times \frac{5}{9} = 40 \times 5 = 200$

おうぎ形Bの中心角は200°。

3. 最終的な答え

(1) 30°

(2) 200°