四角形ABCDはADとBCが平行な台形であり、辺BC上に点Eを∠AEB = ∠DCBとなるようにとる。このとき、四角形AECDが平行四辺形であることを証明する。

1. 問題の内容

四角形ABCDはADとBCが平行な台形であり、辺BC上に点Eを∠AEB = ∠DCBとなるようにとる。このとき、四角形AECDが平行四辺形であることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) AD // BCであるから、錯角は等しくなる。

$\angle ADC = \angle BCE$

(2) 問題の条件より $\angle AEB = \angle DCB$

(3) $\angle BCE = \angle DCB$ であるから、(1)(2)より $\angle ADC = \angle AEB$

(4) $\angle AEB$ と $\angle CE A$ は一直線上にあるので、$\angle AEB + \angle CEA = 180^\circ$

(5) 台形ABCDにおいて、AD // BC より、$\angle D A B + \angle A B C = 180^\circ$

(6) $\angle AEB = \angle D C B$より、$\angle BEA = \angle DCE$。$\angle CE A = 180 - \angle BEA$、$\angle ADC = 180^\circ - \angle CDE$なので、$\angle CEA = \angle ADC$

(7) (1)より$\angle ADC = \angle BCE = \angle DCE$。$\angle A E B = \angle D C B = \angle D C E$。したがって、$\angle CEA = 180^\circ - \angle AEB = 180^\circ - \angle BCE$

(8) $\angle CEA + \angle AEB = 180^\circ$ なので、$\angle CE A = 180^\circ - \angle AEB = 180^\circ - \angle DCB$。よって$\angle C E A = \angle ADC$。

(9) $\angle AEB = \angle DCB$より、$\angle AEB = \angle DCE$。$\angle AEB + \angle AEA = 180$

$\angle ADC + \angle CDE = 180$

(10) $\angle CEA = \angle ADC$が成り立つので、$\angle A E B = \angle D C B$より、$\angle AEB = \angle DCE$。よって，同位角が等しいので、$AE // DC$。

(11) AD // ECであることは台形の定義から明らか。よって、２組の対辺がそれぞれ平行であるので、四角形AECDは平行四辺形である。

3. 最終的な答え

四角形AECDは平行四辺形である。