$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 5$ であるとき, $|3\vec{a} + \vec{b}| = 7$ を満たす $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 5$ であるとき, $|3\vec{a} + \vec{b}| = 7$ を満たす $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず, $|3\vec{a} + \vec{b}| = 7$ の両辺を2乗します。

$|3\vec{a} + \vec{b}|^2 = 7^2$

$(3\vec{a} + \vec{b}) \cdot (3\vec{a} + \vec{b}) = 49$

次に, 左辺を展開します。

$9|\vec{a}|^2 + 6\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 49$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta}$ であることを用いて, $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を $\cos{\theta}$ で表します。

$9|\vec{a}|^2 + 6|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta} + |\vec{b}|^2 = 49$

問題文より, $|\vec{a}| = 1$ および $|\vec{b}| = 5$ であるので, これらを代入します。

$9(1)^2 + 6(1)(5)\cos{\theta} + (5)^2 = 49$

$9 + 30\cos{\theta} + 25 = 49$

$34 + 30\cos{\theta} = 49$

$30\cos{\theta} = 15$

$\cos{\theta} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$

したがって, $\theta = \frac{\pi}{3}$ (または $60^{\circ}$) となります。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{3}$