台形ABCDにおいて、$AD // BC$であり、辺BC上に点Eがあり、$\angle AEB = \angle DCB$を満たすとき、四角形AECDが平行四辺形であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、$AD // BC$であり、辺BC上に点Eがあり、$\angle AEB = \angle DCB$を満たすとき、四角形AECDが平行四辺形であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

四角形AECDが平行四辺形であることを示すためには、AECDが下記のいずれかの条件を満たすことを示せば良いです。

* 2組の対辺がそれぞれ平行

* 2組の対辺がそれぞれ等しい

* 2組の対角がそれぞれ等しい

* 対角線がそれぞれの中点で交わる

* 1組の対辺が平行で、かつその長さが等しい

今回は、$AD // EC$は台形の定義からわかっているので、AE // DCが示せれば、四角形AECDが平行四辺形であると言えます。

1. $AD // BC$より、$\angle ADC + \angle DCB = 180^\circ$ (同側内角の和)

2. 仮定より、$\angle AEB = \angle DCB$

3. $\angle AEB$は$\angle AEC$の補角なので、$\angle AEB + \angle AEC = 180^\circ$

4. したがって、$\angle AEC = 180^\circ - \angle AEB = 180^\circ - \angle DCB = \angle ADC$

5. $\angle AEC = \angle ADC$ であるので、錯角が等しいことから $AE // DC$

6. 以上より、$AD // EC$かつ$AE // DC$なので、四角形AECDは平行四辺形である。

3. 最終的な答え

四角形AECDは平行四辺形である。