3点 $(1, 1)$, $(5, -1)$, $(-3, -7)$ を通る円の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

3点 $(1, 1)$, $(5, -1)$, $(-3, -7)$ を通る円の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

求める円の方程式を

$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$

とおく。

与えられた3点の座標をそれぞれ代入する。

点 $(1, 1)$ を代入すると

$1^2 + 1^2 + A(1) + B(1) + C = 0$

$A + B + C = -2$ ...(1)

点 $(5, -1)$ を代入すると

$5^2 + (-1)^2 + A(5) + B(-1) + C = 0$

$5A - B + C = -26$ ...(2)

点 $(-3, -7)$ を代入すると

$(-3)^2 + (-7)^2 + A(-3) + B(-7) + C = 0$

$-3A - 7B + C = -58$ ...(3)

(2) - (1)より

$4A - 2B = -24$

$2A - B = -12$ ...(4)

(3) - (1)より

$-4A - 8B = -56$

$A + 2B = 14$ ...(5)

(4) $\times$ 2 + (5)より

$4A - 2B + A + 2B = -24 + 14$

$5A = -10$

$A = -2$

(5)に代入して

$-2 + 2B = 14$

$2B = 16$

$B = 8$

(1)に代入して

$-2 + 8 + C = -2$

$C = -8$

よって求める円の方程式は

$x^2 + y^2 -2x + 8y - 8 = 0$

$(x - 1)^2 - 1 + (y + 4)^2 - 16 - 8 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 25$

3. 最終的な答え

$(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 25$

あるいは

$x^2 + y^2 - 2x + 8y - 8 = 0$