三角形ABCは$\angle ABC = 90^\circ$の直角三角形である。点Gは三角形ABCの重心であり、Dは直線AGと辺BCの交点、Eは直線CGと辺ABの交点である。BE=5、BD=6のとき、辺ACの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCは$\angle ABC = 90^\circ$の直角三角形である。点Gは三角形ABCの重心であり、Dは直線AGと辺BCの交点、Eは直線CGと辺ABの交点である。BE=5、BD=6のとき、辺ACの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

重心の性質より、AD, CEは中線である。

DはBCの中点なので、BD = DC = 6。よって、BC = BD + DC = 6 + 6 = 12。

EはABの中点なので、BE = EA = 5。よって、AB = BE + EA = 5 + 5 = 10。

三角形ABCは直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 10^2 + 12^2 = 100 + 144 = 244$

$AC = \sqrt{244} = \sqrt{4 \times 61} = 2\sqrt{61}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{61}$