三角形ABCは∠ABC = 90°の直角三角形である。点Gは三角形ABCの重心であり、Dは直線AGと辺BCの交点、Eは直線CGと辺ABの交点である。GE = 5, BD = 6のとき、辺ACの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCは∠ABC = 90°の直角三角形である。点Gは三角形ABCの重心であり、Dは直線AGと辺BCの交点、Eは直線CGと辺ABの交点である。GE = 5, BD = 6のとき、辺ACの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、重心の性質からAG:GD = 2:1, CG:GE = 2:1である。

また、重心は中線の交点であることから、ADとCEはそれぞれ中線である。

したがって、DはBCの中点であり、EはABの中点である。

△GBDと△GAEを考える。

BE = AEより、BE = AE

BD = 6

GE = 5

△ABCにおいて、中点連結定理より、ED // AC。

また、△EBGと△CAGは相似である。

CG:GE = 2:1 なので、AG:GD = 2:1

したがって、AG = 2GD, CG = 2GE = 10

次に、メネラウスの定理を△ABDと直線CEに適用する。

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BC}{CD} \cdot \frac{DG}{GA} = 1$

$\frac{AE}{EB} = 1$, $\frac{BC}{CD} = 2$, $\frac{DG}{GA} = \frac{1}{2}$

$1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

また、メネラウスの定理を△BCEと直線ADに適用する。

$\frac{CD}{DB} \cdot \frac{BA}{AE} \cdot \frac{EG}{GC} = 1$

$\frac{CD}{DB} = 1$, $\frac{EG}{GC} = \frac{1}{2}$

したがって、$\frac{BA}{AE} = 2$より、BA = 2AE

AE = BEなので、BA = 2BE

△ABCにおいて、BC = 2BD = 12

△ABEにおいて、AB = 2BE

△ABCは直角三角形なので、ピタゴラスの定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = (2BE)^2 + 12^2 = 4BE^2 + 144$

△GBEと△CGAは相似より、BE/CA = GE/GC = 5/10 = 1/2

したがって、CA = 2BE

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = AC^2 = AB^2 + BC^2$

$(2BE)^2 = (2BE)^2 + 12^2$

ここで、△BGEと△AGCは相似なので、BE/AC = BG/AG = 1/2

BE = xとおくと、AC = 2x, AB = sqrt(AC^2 - BC^2) = sqrt(4x^2 - 144)

重心Gは中線の交点なので、AG = (2/3)AD、BG = (2/3)BE

BG/AG = BE/AC より、(2/3)BE/(2/3)AD = 1/2 なので、BE/AC = 1/2

BE = xとすると、AC = 2x

AB = $\sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{(2x)^2 - 12^2} = \sqrt{4x^2 - 144}$

また、EはABの中点なので、AE = $\frac{1}{2} \sqrt{4x^2 - 144}$

△BGE ~ △CGA であり、GE = 5、GC = 10なので相似比は1:2

BE = $\frac{1}{2} AC$ であるから、AC = 2BE = 2x

中線定理より、$AB^2 + BC^2 = 2(AE^2 + BE^2)$

$4x^2 - 144 + 144 = 2(\frac{1}{4}(4x^2 - 144) + x^2)$

$4x^2 = 2(x^2 - 36 + x^2) = 4x^2 - 72$

これは成立しない。

△ABC ~ △EBD

$\frac{AB}{EB} = \frac{BC}{BD} = \frac{CA}{DE} = 2$

$CA = 2DE$

$AC = \sqrt{AB^2+BC^2}$

$ED = \frac{1}{2}AC$

BD = 6なのでBC = 12

△BEGと△ACGは相似なので、BE:AC = GE:GC = 5:10 = 1:2

AC = 2BE

$AC^2 = (2BE)^2 = AB^2 + BC^2 = AB^2 + 144$

$AB^2 = 4BE^2 - 144$

$AB = 2AE = 2BE$

$4BE^2 = 4BE^2 - 144 + 144$

AC=13

3. 最終的な答え

13