四角形ABCDは$AD // BC$の台形である。辺BC上に点Eを$∠AEB = ∠DCB$となるようにとる。このとき、四角形AECDが平行四辺形であることを証明する。

1. 問題の内容

四角形ABCDは$AD // BC$の台形である。辺BC上に点Eを$∠AEB = ∠DCB$となるようにとる。このとき、四角形AECDが平行四辺形であることを証明する。

2. 解き方の手順

四角形AECDが平行四辺形であることを示すためには、次のいずれかを示す必要がある。

* AE // DC かつ AD // EC (2組の対辺がそれぞれ平行)

* AE = DC かつ AD = EC (2組の対辺がそれぞれ等しい)

* AE // DC かつ AE = DC (1組の対辺が平行で、かつその長さが等しい)

まず、$AD // BC$より、$∠ADC + ∠DCB = 180°$である。

仮定より、$∠AEB = ∠DCB$である。

$∠AEB$は$∠AEC$の補角なので、$∠AEB + ∠AEC = 180°$である。

これらを組み合わせると、$∠ADC + ∠AEB = 180°$と$∠AEB + ∠AEC = 180°$より、$∠ADC = ∠AEC$である。

次に、$∠ADC$と$∠AEC$が同位角の位置にあることから、$AE // DC$が成り立つ。

さらに、$AD // BC$より、$AD // EC$である。

したがって、四角形AECDは2組の対辺がそれぞれ平行であるため、平行四辺形である。

3. 最終的な答え

四角形AECDは平行四辺形である。