一直線上にない3点O, A, Bがあり、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$とします。以下の各直線について、直線上の任意の点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を用いて、ベクトル方程式で表します。 (1) 点Aを通り、方向ベクトルが$\overrightarrow{OB}$の直線 (2) 直線OA (3) 線分OAの中点Mと線分OBの中点Nを通る直線 (4) OAを1:2の比に内分する点Cと点Bを通る直線 (5) ABを2:3の比に内分する点Cと原点Oを通る直線 (6) 点Aを通り、$\overrightarrow{OB}$に垂直な直線 (7) 点Aを通り、線分ABに垂直な直線 (8) 線分OAの垂直二等分線

はい、承知いたしました。与えられた問題について、以下に解答を示します。

1. 問題の内容

一直線上にない3点O, A, Bがあり、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$とします。以下の各直線について、直線上の任意の点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を用いて、ベクトル方程式で表します。

(1) 点Aを通り、方向ベクトルが$\overrightarrow{OB}$の直線

(2) 直線OA

(3) 線分OAの中点Mと線分OBの中点Nを通る直線

(4) OAを1:2の比に内分する点Cと点Bを通る直線

(5) ABを2:3の比に内分する点Cと原点Oを通る直線

(6) 点Aを通り、$\overrightarrow{OB}$に垂直な直線

(7) 点Aを通り、線分ABに垂直な直線

(8) 線分OAの垂直二等分線

2. 解き方の手順

(1) 点Aを通り、方向ベクトルが$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$の直線

直線上の点Pの位置ベクトル$\vec{p}$は、実数$t$を用いて

$\vec{p} = \overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$

$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{b}$

(2) 直線OA

直線上の点Pの位置ベクトル$\vec{p}$は、実数$t$を用いて

$\vec{p} = t\overrightarrow{OA}$

$\vec{p} = t\vec{a}$

(3) 線分OAの中点Mと線分OBの中点Nを通る直線

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\vec{a}$、$\overrightarrow{ON} = \frac{1}{2}\vec{b}$

直線上の点Pの位置ベクトル$\vec{p}$は、実数$s, t$を用いて

$\vec{p} = (1-t)\overrightarrow{OM} + t\overrightarrow{ON}$

$\vec{p} = (1-t)\frac{1}{2}\vec{a} + t\frac{1}{2}\vec{b}$

$\vec{p} = \frac{1-t}{2}\vec{a} + \frac{t}{2}\vec{b}$

$s = \frac{1-t}{2}, u = \frac{t}{2}$ とおくと、$2s+2u = 1-t+t = 1$

より $s+u = \frac{1}{2}$

$\vec{p} = s\vec{a} + u\vec{b}, s+u = \frac{1}{2}$

あるいは、$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}$

$\vec{p} = \overrightarrow{OM} + t\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\vec{a} + t(\frac{1}{2}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a})$

$\vec{p} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{t}{2}\vec{b} - \frac{t}{2}\vec{a} = (\frac{1}{2}-\frac{t}{2})\vec{a} + \frac{t}{2}\vec{b}$

$\vec{p} = \frac{1-t}{2}\vec{a} + \frac{t}{2}\vec{b}$

これは上記と同じ。

(4) OAを1:2の比に内分する点Cと点Bを通る直線

$\overrightarrow{OC} = \frac{1\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OO}}{1+2} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} = \frac{1}{3}\vec{a}$

直線上の点Pの位置ベクトル$\vec{p}$は、実数$t$を用いて

$\vec{p} = (1-t)\overrightarrow{OC} + t\overrightarrow{OB}$

$\vec{p} = (1-t)\frac{1}{3}\vec{a} + t\vec{b}$

$\vec{p} = \frac{1-t}{3}\vec{a} + t\vec{b}$

(5) ABを2:3の比に内分する点Cと原点Oを通る直線

$\overrightarrow{OC} = \frac{3\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}}{2+3} = \frac{3}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}$

直線上の点Pの位置ベクトル$\vec{p}$は、実数$t$を用いて

$\vec{p} = t\overrightarrow{OC}$

$\vec{p} = t(\frac{3}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b})$

$\vec{p} = \frac{3t}{5}\vec{a} + \frac{2t}{5}\vec{b}$

(6) 点Aを通り、$\overrightarrow{OB}$に垂直な直線

直線上の点Pの位置ベクトル$\vec{p}$は、$(\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0$を満たす

$\vec{p} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{p} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b}$

(7) 点Aを通り、線分ABに垂直な直線

$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$

直線上の点Pの位置ベクトル$\vec{p}$は、$(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0$を満たす

$\vec{p} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) - \vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0$

$\vec{p} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{a})$

$\vec{p} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{a}|^2$

(8) 線分OAの垂直二等分線

線分OAの中点をMとすると、$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\vec{a}$

直線上の点Pの位置ベクトル$\vec{p}$は、$(\vec{p} - \frac{1}{2}\vec{a}) \cdot \vec{a} = 0$を満たす

$\vec{p} \cdot \vec{a} - \frac{1}{2}|\vec{a}|^2 = 0$

$\vec{p} \cdot \vec{a} = \frac{1}{2}|\vec{a}|^2$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{p} = \vec{a} + t\vec{b}$

(2) $\vec{p} = t\vec{a}$

(3) $\vec{p} = s\vec{a} + u\vec{b}, s+u = \frac{1}{2}$ または $\vec{p} = \frac{1-t}{2}\vec{a} + \frac{t}{2}\vec{b}$

(4) $\vec{p} = \frac{1-t}{3}\vec{a} + t\vec{b}$

(5) $\vec{p} = \frac{3t}{5}\vec{a} + \frac{2t}{5}\vec{b}$

(6) $\vec{p} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b}$

(7) $\vec{p} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{a}|^2$

(8) $\vec{p} \cdot \vec{a} = \frac{1}{2}|\vec{a}|^2$