Oを頂点とする正四角錐O-ABCDがあり、$|OA| = 2$, $|AB| = 1$を満たす。OB, ODの中点をそれぞれL, Nとする。辺OC上に点Mを、4点A, L, M, Nが同一平面上となるようにとる。 (1) $|OM|$を求めよ。 (2) 平面ABCDと平面ALMNのなす角$\theta$に対し、$\cos \theta$を求めよ。また、四角形ALMNの面積を求めよ。 (3) 四角錐O-ALMNの体積を求めよ。

1. 問題の内容

Oを頂点とする正四角錐O-ABCDがあり、$|OA| = 2$, $|AB| = 1$を満たす。OB, ODの中点をそれぞれL, Nとする。辺OC上に点Mを、4点A, L, M, Nが同一平面上となるようにとる。

(1) $|OM|$を求めよ。

(2) 平面ABCDと平面ALMNのなす角$\theta$に対し、$\cos \theta$を求めよ。また、四角形ALMNの面積を求めよ。

(3) 四角錐O-ALMNの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $|OM|$を求める。

まず、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$, $\overrightarrow{OD} = \vec{d}$とすると、

L, NはそれぞれOB, ODの中点なので、$\overrightarrow{OL} = \frac{1}{2}\vec{b}$, $\overrightarrow{ON} = \frac{1}{2}\vec{d}$である。

また、点Mは辺OC上にあるので、$\overrightarrow{OM} = k\vec{c}$ (kは実数)と表せる。

4点A, L, M, Nが同一平面上にあるので、実数s, t, uを用いて

$\overrightarrow{OA} = s\overrightarrow{OL} + t\overrightarrow{OM} + u\overrightarrow{ON}$

$\vec{a} = \frac{s}{2}\vec{b} + tk\vec{c} + \frac{u}{2}\vec{d}$

と表せる。

ここで、正四角錐O-ABCDにおいて、底面ABCDは正方形なので、$\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$は一次独立である。

従って、$s = t = u = 0$はありえない。

また、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$は空間ベクトルであり、$\vec{a} = \overrightarrow{OA}$は$\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$の線形結合で表せない。

しかし、問題文からA, L, M, Nが同一平面上にあるので、

$\overrightarrow{AL} = p \overrightarrow{AM} + q \overrightarrow{AN}$となる実数p, qが存在する。

$\overrightarrow{AL} = \overrightarrow{OL} - \overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$

$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = k\vec{c} - \vec{a}$

$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\vec{d} - \vec{a}$

よって、

$\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a} = p(k\vec{c} - \vec{a}) + q(\frac{1}{2}\vec{d} - \vec{a})$

$\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a} = pk\vec{c} + \frac{q}{2}\vec{d} - (p+q)\vec{a}$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$は一次独立ではないので、

$p + q = 1$, $pk = 0$, $q = 0$ とはならない。

点A, L, M, Nが同一平面上にある条件は、

$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OL}, \overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$が同一平面上にあることなので、

$\overrightarrow{OA} = x\overrightarrow{OL} + y\overrightarrow{OM} + z\overrightarrow{ON}$において、$x+y+z = 1$が成り立つ。

よって、$\vec{a} = \frac{x}{2}\vec{b} + ky\vec{c} + \frac{z}{2}\vec{d}$

$x+y+z = 1$

$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$であり、$|AB| = 1$より、$|\vec{b} - \vec{a}| = 1$

$|OA| = 2$より、$|\vec{a}| = 2$

$|\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$

$|\vec{b}|^2 + 4 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$

ここでは、メネラウスの定理を利用する。

直線ALMNが三角形OBCの辺OB, BC, COとそれぞれL, E, Mで交わるとする。

すると、$\frac{OL}{LB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CM}{MO} = 1$

$\frac{1}{1} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CM}{MO} = 1$

$\frac{CM}{MO} = \frac{EC}{BE}$

正四角錐O-ABCDにおいて、点Mが辺OC上にあり、A, L, M, Nが同一平面上にあることから、

直線AN, 直線OL, 直線BCは一点で交わる。この交点をEとする。

△OCEにおいて、ANはCEと交わるので、

$\frac{ON}{ND} \cdot \frac{DA}{AC} \cdot \frac{CM}{ME} = 1$

$1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{CM}{ME} = 1$

$\frac{OC}{OM} = \frac{OA}{OL} + \frac{ON}{OC}$

$\frac{2}{OM} = \frac{2}{1} + \frac{1}{2}$

$\frac{OC}{OM} = \frac{4 + OA}{OC}$

$|OM| = \frac{4}{5}$

(2) 平面ABCDと平面ALMNのなす角$\theta$に対し、$\cos \theta$を求める。また、四角形ALMNの面積を求めよ。

(3) 四角錐O-ALMNの体積を求める。

3. 最終的な答え

(1) $|OM| = \frac{4}{5}$

(2) 未解答

(3) 未解答