Oを頂点とする正四角錐O-ABCDがあり、$|OA| = 2$, $|AB| = 1$ を満たす。OB, ODの中点をそれぞれL, Nとする。辺OC上に点Mを、4点A, L, M, Nが同一平面上となるようにとる。このとき、 (1) $|OM|$ を求めよ。 (2) 平面ABCDと平面ALMNのなす角$\theta$に対し、$\cos \theta$を求めよ。また、四角形ALMNの面積を求めよ。 (3) 四角錐O-ALMNの体積を求めよ。

1. 問題の内容

Oを頂点とする正四角錐O-ABCDがあり、$|OA| = 2$, $|AB| = 1$ を満たす。OB, ODの中点をそれぞれL, Nとする。辺OC上に点Mを、4点A, L, M, Nが同一平面上となるようにとる。このとき、

(1) $|OM|$ を求めよ。

(2) 平面ABCDと平面ALMNのなす角$\theta$に対し、$\cos \theta$を求めよ。また、四角形ALMNの面積を求めよ。

(3) 四角錐O-ALMNの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点A, L, M, Nが同一平面上にあるという条件をベクトルで表現する。

$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}, \vec{OD} = \vec{d}$とおくと、

$\vec{OL} = \frac{1}{2}\vec{b}, \vec{ON} = \frac{1}{2}\vec{d}$

$\vec{OM} = k\vec{c}$とおく。（ただし、$k$は実数。）

点A, L, M, Nが同一平面上にあるので、

$\vec{AM} = s\vec{AL} + t\vec{AN} + u\vec{AO}$

となる実数$s, t, u$が存在する。

$\vec{OM} - \vec{OA} = s(\vec{OL} - \vec{OA}) + t(\vec{ON} - \vec{OA}) + u(-\vec{OA})$

$k\vec{c} - \vec{a} = s(\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}) + t(\frac{1}{2}\vec{d} - \vec{a}) - u\vec{a}$

$k\vec{c} = \frac{s}{2}\vec{b} + \frac{t}{2}\vec{d} + (1 - s - t - u)\vec{a}$

ここで、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$は一次独立なので、$s = t = 0$である。

よって、$k\vec{c} = (1 - u)\vec{a}$となり、$\vec{a}$と$\vec{c}$が平行になってしまうので矛盾。

ここで、点A, L, M, Nが同一平面上にある条件を、

$\vec{OM} = p\vec{OA} + q\vec{OL} + r\vec{ON}$

とおく。ただし、$p+q+r = 1$。

$k\vec{c} = p\vec{a} + \frac{q}{2}\vec{b} + \frac{r}{2}\vec{d}$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}, \vec{c}$は一次独立なので、$p=q=r=0$となり矛盾。

正しい解法:

$\vec{AL} = \vec{OL} - \vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$

$\vec{AN} = \vec{ON} - \vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{d} - \vec{a}$

$\vec{AM} = \vec{OM} - \vec{OA} = k\vec{c} - \vec{a}$

$\vec{A}, \vec{L}, \vec{M}, \vec{N}$ が同一平面上にあるので、$\vec{AM} = s\vec{AL} + t\vec{AN}$ と表せる。

$k\vec{c} - \vec{a} = s(\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}) + t(\frac{1}{2}\vec{d} - \vec{a})$

$k\vec{c} = (1-s-t)\vec{a} + \frac{s}{2}\vec{b} + \frac{t}{2}\vec{d}$

ここで、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$は一次独立ではない。なぜなら、ABCDは正方形なので$\vec{AC} = \vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$が成り立つ。よって、$\vec{c} = \vec{b} + \vec{d} - \vec{a}$である。

これを代入して、

$k(\vec{b} + \vec{d} - \vec{a}) = (1-s-t)\vec{a} + \frac{s}{2}\vec{b} + \frac{t}{2}\vec{d}$

$(k-1+s+t)\vec{a} + (k - \frac{s}{2})\vec{b} + (k - \frac{t}{2})\vec{d} = 0$

よって、$k-1+s+t = 0$, $k - \frac{s}{2} = 0$, $k - \frac{t}{2} = 0$

$s = t = 2k$

$k - 1 + 4k = 0$

$5k = 1$

$k = \frac{1}{5}$

よって、$|OM| = \frac{1}{5}|OC|$

$|OC| = \sqrt{|OA|^2 + |AC|^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}$

$|OM| = \frac{\sqrt{6}}{5}$

(2) 平面ABCDの法線ベクトルを$\vec{n_1}$とすると、$\vec{n_1} = \vec{OA}$である。

平面ALMNの法線ベクトルを$\vec{n_2}$とすると、$\vec{n_2} = \vec{AL} \times \vec{AN} = (\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}) \times (\frac{1}{2}\vec{d} - \vec{a}) = \frac{1}{4}\vec{b}\times\vec{d} - \frac{1}{2}\vec{b}\times\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{a}\times\vec{d} + \vec{a}\times\vec{a} = \frac{1}{4}\vec{b}\times\vec{d} + \frac{1}{2}\vec{a}\times\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}\times\vec{d}$

$\cos\theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}$

$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{d})$を計算する必要がある。

四角形ALMNの面積

(3) 四角錐O-ALMNの体積

3. 最終的な答え

(1) $|OM| = \frac{\sqrt{6}}{5}$

(2) $\cos \theta =$ (計算中)

四角形ALMNの面積 = (計算中)

(3) 四角錐O-ALMNの体積 = (計算中)