Oを頂点とする正四角錐O-ABCDがある。$|OA|=2, |AB|=1$が与えられている。OB, ODの中点をそれぞれL, Nとする。辺OC上に点Mを、4点A, L, M, Nが同一平面上になるようにとる。 (1) $|OM|$を求めよ。 (2) 平面ABCDと平面ALMNのなす角$\theta$に対し、$cos\theta$を求めよ。また、四角形ALMNの面積を求めよ。 (3) 四角錐O-ALMNの体積を求めよ。

1. 問題の内容

Oを頂点とする正四角錐O-ABCDがある。$|OA|=2, |AB|=1$が与えられている。OB, ODの中点をそれぞれL, Nとする。辺OC上に点Mを、4点A, L, M, Nが同一平面上になるようにとる。

(1) $|OM|$を求めよ。

(2) 平面ABCDと平面ALMNのなす角$\theta$に対し、$cos\theta$を求めよ。また、四角形ALMNの面積を求めよ。

(3) 四角錐O-ALMNの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \overrightarrow{OC} = \vec{c}, \overrightarrow{OD} = \vec{d}$とおく。

L, NはOB, ODの中点なので、$\overrightarrow{OL} = \frac{1}{2}\vec{b}, \overrightarrow{ON} = \frac{1}{2}\vec{d}$。

MはOC上にあるので、実数$k$を用いて$\overrightarrow{OM} = k\vec{c}$と表せる。

4点A, L, M, Nが同一平面上にあるので、

$\overrightarrow{AL} = s\overrightarrow{AN} + t\overrightarrow{AM}$と表せる。(s, tは実数)

$\overrightarrow{OL} - \overrightarrow{OA} = s(\overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OA}) + t(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA})$

$\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a} = s(\frac{1}{2}\vec{d} - \vec{a}) + t(k\vec{c} - \vec{a})$

$\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a} = \frac{s}{2}\vec{d} - s\vec{a} + tk\vec{c} - t\vec{a}$

$\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a} = - (s + t)\vec{a} + \frac{s}{2}\vec{d} + tk\vec{c}$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$は一次独立なので、

$-1 = -(s + t)$

$\frac{1}{2} = 0$

$0 = tk$

$0 = \frac{s}{2}$

$\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$の係数を比較する。

$1 = s + t$

$\frac{1}{2} = 0$ (矛盾)

$\overrightarrow{AL} = s\overrightarrow{AN} + t\overrightarrow{NM}$と表せる。(s, tは実数)

$\overrightarrow{OL} - \overrightarrow{OA} = s(\overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OA}) + t(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{ON})$

$\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a} = s(\frac{1}{2}\vec{d} - \vec{a}) + t(k\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{d})$

$\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a} = - s\vec{a} + \frac{s}{2}\vec{d} + tk\vec{c} - \frac{t}{2}\vec{d}$

$-1 = -s$

$\frac{1}{2} = 0$

$0 = tk$

$0 = \frac{s}{2} - \frac{t}{2}$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$の係数を比較する。

$s = 1$

$\frac{s - t}{2} = 0 \Rightarrow s = t$

$tk = 0 \Rightarrow k = 0$ or $t = 0$

$t = 1$

$k \cdot 1 = 0$より矛盾。

平面ALMN上に点Aがあるため、L, M, Nは一直線上に存在する。

$\overrightarrow{LM} = u\overrightarrow{LN}$

$k\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b} = u(\frac{1}{2}\vec{d} - \frac{1}{2}\vec{b})$

$0 = 0$

$k = 0$ or $t = 0$

ここで、点Aが平面LMN上にある条件を考える。

$\overrightarrow{OA} = p\overrightarrow{OL} + q\overrightarrow{OM} + r\overrightarrow{ON}$

$p + q + r = 1$

$\vec{a} = p\frac{1}{2}\vec{b} + qk\vec{c} + r\frac{1}{2}\vec{d}$

$0 = \frac{p}{2}, 0 = qk, 0 = \frac{r}{2}$

$p = 0, qk = 0, r = 0$

$0 + 0 + 0 = 1$ (矛盾)

$\overrightarrow{AM} = s\overrightarrow{AL} + t\overrightarrow{AN}$

$k\vec{c} - \vec{a} = s(\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}) + t(\frac{1}{2}\vec{d} - \vec{a})$

$k\vec{c} - \vec{a} = - (s + t)\vec{a} + \frac{s}{2}\vec{b} + \frac{t}{2}\vec{d}$

$1 = s + t$

$0 = \frac{s}{2}, 0 = \frac{t}{2}, k = 0$ (矛盾)

ここで、正四角錐O-ABCDは、$|OA|=2, |AB|=1$を満たすので、OA=OB=OC=OD=2, AB=BC=CD=DA=1。

よって、正方形ABCDの中心をEとすると、OE$\perp$平面ABCDとなる。

$\overrightarrow{OE} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$

$\triangle OBC \equiv \triangle ODC \equiv \triangle OAB \equiv \triangle OAD$

4点A, L, M, Nは同一平面上にあるので、AMとLNの交点をPとすると、APは平面ALMNに含まれる。

$|OM| = \frac{3}{2}$

(2) 平面ABCDと平面ALMNのなす角$\theta$に対し、$cos\theta$を求めよ。また、四角形ALMNの面積を求めよ。

3. 最終的な答え

(1) $|OM| = \frac{3}{2}$