与えられた画像には、いくつかの根号を含む計算問題があります。これらの問題を解き、最終的な答えを求めます。具体的には、以下の4つの問題を解きます。 (7) $\sqrt[5]{8}$ (8) $\sqrt[3]{6} \times \sqrt[3]{9} \times \sqrt[3]{4}$ (9) $\sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{81}$ (10) $\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{16}$

1. 問題の内容

与えられた画像には、いくつかの根号を含む計算問題があります。これらの問題を解き、最終的な答えを求めます。具体的には、以下の4つの問題を解きます。

(7) $\sqrt[5]{8}$

(8) $\sqrt[3]{6} \times \sqrt[3]{9} \times \sqrt[3]{4}$

(9) $\sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{81}$

(10) $\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{16}$

2. 解き方の手順

(7) $\sqrt[5]{8}$

8は$2^3$で表せるので、$\sqrt[5]{8} = \sqrt[5]{2^3} = 2^{\frac{3}{5}}$。これは簡単にできません。しかし、問題文の解答欄には$\sqrt{2}$と書かれています。これは誤りです。正しくは$2^{3/5}$です。

(8) $\sqrt[3]{6} \times \sqrt[3]{9} \times \sqrt[3]{4}$

立方根の中身をまとめると $\sqrt[3]{6 \times 9 \times 4} = \sqrt[3]{2 \times 3 \times 3^2 \times 2^2} = \sqrt[3]{2^3 \times 3^3} = \sqrt[3]{(2 \times 3)^3} = 2 \times 3 = 6$

(9) $\sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{81}$

$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{2^3 \times 3} = 2\sqrt[3]{3}$

$\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^4} = \sqrt[3]{3^3 \times 3} = 3\sqrt[3]{3}$

したがって、$\sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{81} = 2\sqrt[3]{3} + 3\sqrt[3]{3} = (2+3)\sqrt[3]{3} = 5\sqrt[3]{3}$

(10) $\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{16}$

$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{2 \times 3^3} = 3\sqrt[3]{2}$

$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{2^3 \times 2} = 2\sqrt[3]{2}$

したがって、$\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{16} = 3\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2} = (3-1+2)\sqrt[3]{2} = 4\sqrt[3]{2}$

3. 最終的な答え

(7) $2^{\frac{3}{5}}$

(8) $6$

(9) $5\sqrt[3]{3}$

(10) $4\sqrt[3]{2}$