与えられた数式 $6 \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ を計算し、簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた数式 $6 \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ を計算し、簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、分母の有理化を行います。分母 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ の共役複素数 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})}$

次に、分子と分母をそれぞれ展開します。

分子:

$(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = (\sqrt{6})^2 - 2\sqrt{6}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 6 - 2\sqrt{12} + 2 = 8 - 2\sqrt{4 \times 3} = 8 - 2 \times 2\sqrt{3} = 8 - 4\sqrt{3}$

分母:

$(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2 = 6 - 2 = 4$

したがって、

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = \frac{4(2 - \sqrt{3})}{4} = 2 - \sqrt{3}$

最後に、この結果に6を掛けます。

$6 \times (2 - \sqrt{3}) = 12 - 6\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$12 - 6\sqrt{3}$