与えられた式 $\frac{1}{1-\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}-2}$ を計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{1-\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}-2}$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

各項を有理化します。

まず、$\frac{1}{1-\sqrt{2}}$ を有理化します。分母と分子に $1+\sqrt{2}$ をかけます。

$$\frac{1}{1-\sqrt{2}} = \frac{1(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} = \frac{1+\sqrt{2}}{1-2} = \frac{1+\sqrt{2}}{-1} = -1-\sqrt{2}$$

次に、$\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ を有理化します。分母と分子に $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ をかけます。

$$\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{1(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{2}-\sqrt{3}$$

最後に、$\frac{1}{\sqrt{3}-2}$ を有理化します。分母と分子に $\sqrt{3}+2$ をかけます。

$$\frac{1}{\sqrt{3}-2} = \frac{1(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)} = \frac{\sqrt{3}+2}{3-4} = \frac{\sqrt{3}+2}{-1} = -\sqrt{3}-2$$

これらの結果を元の式に代入します。

$$\frac{1}{1-\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}-2} = (-1-\sqrt{2}) - (-\sqrt{2}-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3}-2)$$

$$= -1-\sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 2 = -1 - 2 = -3$$

3. 最終的な答え

-3