(3) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$を計算せよ。 (4) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$を計算せよ。

1. 問題の内容

(3) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$を計算せよ。

(4) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$を計算せよ。

2. 解き方の手順

(3)

まず、二重根号を外すことを考える。

$\sqrt{a+\sqrt{b}}$の形なので、$a+\sqrt{b} = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2$となるような$x, y$を見つける。

$(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + y + 2\sqrt{xy}$なので、

$x+y=9$

$4xy=56 \implies xy=14$

となる$x, y$を見つける。

$x, y$は$t^2 - 9t + 14 = 0$の解である。

$(t-2)(t-7)=0$

よって、$t=2, 7$。

$x=2, y=7$とすると、

$\sqrt{9+\sqrt{56}} = \sqrt{2} + \sqrt{7}$

(4)

同様に、二重根号を外すことを考える。

$\sqrt{a-\sqrt{b}}$の形なので、$a-\sqrt{b} = (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2$となるような$x, y$を見つける。

$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy}$なので、

$x+y=11$

$4xy = (6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72 \implies xy=18$

となる$x, y$を見つける。

$x, y$は$t^2 - 11t + 18 = 0$の解である。

$(t-2)(t-9)=0$

よって、$t=2, 9$。

$x=9, y=2$とすると、

$\sqrt{11-6\sqrt{2}} = \sqrt{9} - \sqrt{2} = 3 - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(3) $\sqrt{9+\sqrt{56}} = \sqrt{2} + \sqrt{7}$

(4) $\sqrt{11-6\sqrt{2}} = 3 - \sqrt{2}$