全体集合$U$、部分集合$A$, $B$について、$n(U) = 40$, $n(A) = 18$, $n(B) = 25$, $n(A \cap B) = 6$ であるとき、以下の値を求める。 (1) $n(\overline{B})$ (2) $n(\overline{A \cup B})$ (3) $n(A \cap \overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合$U$、部分集合$A$, $B$について、$n(U) = 40$, $n(A) = 18$, $n(B) = 25$, $n(A \cap B) = 6$ であるとき、以下の値を求める。

(1) $n(\overline{B})$

(2) $n(\overline{A \cup B})$

(3) $n(A \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{B})$は、$B$の補集合の要素の個数である。

$n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$ で求められる。

$n(\overline{B}) = 40 - 25 = 15$

(2) $n(\overline{A \cup B})$は、$A \cup B$の補集合の要素の個数である。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$で$A \cup B$を求める。

$n(A \cup B) = 18 + 25 - 6 = 37$

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$ で求められる。

$n(\overline{A \cup B}) = 40 - 37 = 3$

(3) $n(A \cap \overline{B})$は、$A$かつ$B$でない要素の個数である。これは、$A$から$A \cap B$を除いた要素の個数に等しい。

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$ で求められる。

$n(A \cap \overline{B}) = 18 - 6 = 12$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{B}) = 15$

(2) $n(\overline{A \cup B}) = 3$

(3) $n(A \cap \overline{B}) = 12$