与えられた数式 $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$ を計算し、最も簡単な形で表す。

1. 問題の内容

与えられた数式 $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$ を計算し、最も簡単な形で表す。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行います。分母 $\sqrt{3}+1$ の共役な複素数である $\sqrt{3}-1$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}$

分子を展開します。

$2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1) = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 2\sqrt{3} \cdot 1 = 2(3) - 2\sqrt{3} = 6 - 2\sqrt{3}$

分母を展開します。

$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = (\sqrt{3})^2 - (1)^2 = 3 - 1 = 2$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{6 - 2\sqrt{3}}{2}$

分子の各項を2で割ります。

$\frac{6 - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{2} - \frac{2\sqrt{3}}{2} = 3 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$3 - \sqrt{3}$