与えられた式 $2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ について整理します。

$2x^2 + (5y-3)x + (3y^2 - 5y - 2)$

次に、定数項である $3y^2 - 5y - 2$ を因数分解します。

$3y^2 - 5y - 2 = (3y+1)(y-2)$

したがって、与えられた式は以下のようになります。

$2x^2 + (5y-3)x + (3y+1)(y-2)$

この式が因数分解できると仮定すると、

$(ax + by + c)(dx + ey + f)$

の形になると予想されます。

$2x^2$ の項から、$a = 2$ かつ $d = 1$ であると推測できます。

$(2x + by + c)(x + ey + f)$

次に、$3y^2$の項に注目すると、$be=3$であることがわかります。

また、定数項は$cf=-2$です。

$(2x + 3y + 1)(x + y - 2)$ を試してみます。

この式を展開すると、

$2x^2 + 2xy - 4x + 3xy + 3y^2 - 6y + x + y - 2$

$= 2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2$

となり、これは元の式と一致します。

3. 最終的な答え

$(2x + 3y + 1)(x + y - 2)$