与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} (5k+1)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} (5k+1)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

和の性質を利用して、$\sum$ を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (5k+1) = \sum_{k=1}^{n} 5k + \sum_{k=1}^{n} 1$

次に、定数倍の性質を利用して、5を$\sum$の外に出します。

$\sum_{k=1}^{n} 5k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 5\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ と $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ を用いると、

$5\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$

これを整理します。

$5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{5n(n+1)}{2} + \frac{2n}{2} = \frac{5n^2 + 5n + 2n}{2} = \frac{5n^2 + 7n}{2}$

したがって、与えられた和は $\frac{5n^2+7n}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{5n^2+7n}{2}$