与えられた3つの繁分数式をそれぞれ簡略化する問題です。 (1) $\frac{\frac{ad}{bc}}{\frac{a^2}{b}}$ (2) $\frac{1-\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}}$ (3) $\frac{x+3}{x+1-\frac{8}{x-1}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの繁分数式をそれぞれ簡略化する問題です。

(1) $\frac{\frac{ad}{bc}}{\frac{a^2}{b}}$

(2) $\frac{1-\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}}$

(3) $\frac{x+3}{x+1-\frac{8}{x-1}}$

2. 解き方の手順

(1)

分数式の割り算は、割る数を逆数にして掛け算することで計算できます。

$\frac{\frac{ad}{bc}}{\frac{a^2}{b}} = \frac{ad}{bc} \div \frac{a^2}{b} = \frac{ad}{bc} \times \frac{b}{a^2} = \frac{adb}{bca^2} = \frac{d}{ca}$

(2)

分子と分母をそれぞれ通分して計算し、その後割り算を実行します。

分子: $1 - \frac{1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$

分母: $x - \frac{1}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x^2-1}{x}$

したがって、

$\frac{1-\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}} = \frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x^2-1}{x}} = \frac{x-1}{x} \div \frac{x^2-1}{x} = \frac{x-1}{x} \times \frac{x}{x^2-1} = \frac{x-1}{x} \times \frac{x}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x+1}$

(3)

まず分母を計算し、その後全体を簡略化します。

分母: $x+1-\frac{8}{x-1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} - \frac{8}{x-1} = \frac{x^2-1}{x-1} - \frac{8}{x-1} = \frac{x^2-1-8}{x-1} = \frac{x^2-9}{x-1} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-1}$

したがって、

$\frac{x+3}{x+1-\frac{8}{x-1}} = \frac{x+3}{\frac{(x-3)(x+3)}{x-1}} = (x+3) \div \frac{(x-3)(x+3)}{x-1} = (x+3) \times \frac{x-1}{(x-3)(x+3)} = \frac{x-1}{x-3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{d}{ca}$

(2) $\frac{1}{x+1}$

(3) $\frac{x-1}{x-3}$