2次方程式 $x^2 - 4x + m + 8 = 0$ が実数解をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x + m + 8 = 0$ が実数解をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が実数解をもたない条件は、判別式 $D < 0$ であることです。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式は $D = b^2 - 4ac$ で求められます。

与えられた2次方程式 $x^2 - 4x + m + 8 = 0$ において、$a=1$, $b=-4$, $c=m+8$ です。

したがって、判別式 $D$ は次のようになります。

$D = (-4)^2 - 4(1)(m+8)$

$D = 16 - 4(m+8)$

$D = 16 - 4m - 32$

$D = -4m - 16$

実数解をもたない条件は $D < 0$ であるので、

$-4m - 16 < 0$

$-4m < 16$

$m > -4$

3. 最終的な答え

$m > -4$