$x=2-\sqrt{3}$ のとき、次の式の値を求める問題です。 (1) $x+\frac{1}{x}$ (2) $x^2+\frac{1}{x^2}$ (3) $x^3+\frac{1}{x^3}$

1. 問題の内容

$x=2-\sqrt{3}$ のとき、次の式の値を求める問題です。

(1) $x+\frac{1}{x}$

(2) $x^2+\frac{1}{x^2}$

(3) $x^3+\frac{1}{x^3}$

2. 解き方の手順

(1) $x+\frac{1}{x}$ を求めます。

$x = 2 - \sqrt{3}$ なので、

$\frac{1}{x} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$

よって、

$x + \frac{1}{x} = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$

(2) $x^2+\frac{1}{x^2}$ を求めます。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ より、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$

(1)より、$x + \frac{1}{x} = 4$ なので、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4^2 - 2 = 16 - 2 = 14$

(3) $x^3+\frac{1}{x^3}$ を求めます。

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x^2(\frac{1}{x}) + 3x(\frac{1}{x^2}) + \frac{1}{x^3} = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$

よって、

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$

(1)より、$x + \frac{1}{x} = 4$ なので、

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 4^3 - 3 \times 4 = 64 - 12 = 52$

3. 最終的な答え

(1) $x+\frac{1}{x} = 4$

(2) $x^2+\frac{1}{x^2} = 14$

(3) $x^3+\frac{1}{x^3} = 52$