次の方程式と不等式を解く。 (1) $\frac{x}{x-2} = 2x - 3$ (2) $\frac{x}{x-2} \geq 2x - 3$ (3) $2\sqrt{2x+1} = x+2$ (4) $2\sqrt{2x+1} < x+2$

1. 問題の内容

次の方程式と不等式を解く。

(1) $\frac{x}{x-2} = 2x - 3$

(2) $\frac{x}{x-2} \geq 2x - 3$

(3) $2\sqrt{2x+1} = x+2$

(4) $2\sqrt{2x+1} < x+2$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x \neq 2$である。両辺に$x-2$を掛ける。

$x = (2x-3)(x-2)$

$x = 2x^2 - 4x - 3x + 6$

$x = 2x^2 - 7x + 6$

$2x^2 - 8x + 6 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x-1)(x-3) = 0$

$x = 1, 3$

(2)

$\frac{x}{x-2} - (2x-3) \geq 0$

$\frac{x - (2x-3)(x-2)}{x-2} \geq 0$

$\frac{x - (2x^2 - 7x + 6)}{x-2} \geq 0$

$\frac{-2x^2 + 8x - 6}{x-2} \geq 0$

$\frac{-2(x^2 - 4x + 3)}{x-2} \geq 0$

$\frac{-2(x-1)(x-3)}{x-2} \geq 0$

$\frac{(x-1)(x-3)}{x-2} \leq 0$

$x < 1$のとき、$\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$で成り立つ。

$1 < x < 2$のとき、$\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$で成り立たない。

$2 < x < 3$のとき、$\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$で成り立つ。

$x > 3$のとき、$\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$で成り立たない。

$x = 1, 3$のとき、0になるので成り立つ。

よって、$x \leq 1$ または $2 < x \leq 3$

(3)

$2\sqrt{2x+1} = x+2$

両辺を2乗する。

$4(2x+1) = (x+2)^2$

$8x+4 = x^2 + 4x + 4$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x-4) = 0$

$x = 0, 4$

$x=0$のとき、$2\sqrt{1} = 2$なので成立する。

$x=4$のとき、$2\sqrt{9} = 2\cdot3 = 6$で、$4+2 = 6$なので成立する。

また、$2x+1 \geq 0$なので$x \geq -\frac{1}{2}$を満たしている。

(4)

$2\sqrt{2x+1} < x+2$

$2x+1 \geq 0$より、$x \geq -\frac{1}{2}$

両辺を2乗して

$4(2x+1) < (x+2)^2$

$8x+4 < x^2+4x+4$

$0 < x^2 - 4x$

$x^2 - 4x > 0$

$x(x-4) > 0$

$x < 0$ または $x > 4$

$x \geq -\frac{1}{2}$より、$-\frac{1}{2} \leq x < 0$ または $x > 4$

3. 最終的な答え

(1) $x=1, 3$

(2) $x \leq 1$ または $2 < x \leq 3$

(3) $x=0, 4$

(4) $-\frac{1}{2} \leq x < 0$ または $x > 4$