与えられた式 $a^2 + b^2 + bc - ca - 2ab$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2 + b^2 + bc - ca - 2ab$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた式を $a$ について整理する。

$a^2 - 2ab - ca + b^2 + bc$

$a^2 - (2b + c)a + (b^2 + bc)$

ここで、解の公式を用いて、$a$ についての二次方程式 $a^2 - (2b + c)a + (b^2 + bc) = 0$ の解を求める。

解の公式は、$ax^2+bx+c=0$ に対して、$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ である。

この場合、$x = a$, $b = -(2b+c)$, $c = b^2 + bc$ なので、

$a = \frac{(2b+c) \pm \sqrt{(-(2b+c))^2 - 4(b^2+bc)}}{2}$

$a = \frac{(2b+c) \pm \sqrt{(2b+c)^2 - 4(b^2+bc)}}{2}$

$a = \frac{(2b+c) \pm \sqrt{4b^2+4bc+c^2 - 4b^2-4bc}}{2}$

$a = \frac{(2b+c) \pm \sqrt{c^2}}{2}$

$a = \frac{(2b+c) \pm c}{2}$

$a = \frac{2b+c+c}{2} = b+c$ または $a = \frac{2b+c-c}{2} = b$

したがって、$a = b+c$ または $a = b$ である。

したがって、$a - b - c = 0$ または $a - b = 0$ である。

よって、与えられた式は $(a - b)(a - b - c)$ と因数分解できる。

あるいは、

$a^2 + b^2 + bc - ca - 2ab = a^2 - 2ab + b^2 - ca + bc$

$= (a - b)^2 - c(a - b)$

$= (a - b)(a - b - c)$

3. 最終的な答え

$(a-b)(a-b-c)$