次の不等式を解きます。 $\log_2(x-1) + \log_{\frac{1}{2}}(3-x) \leq 0$

1. 問題の内容

次の不等式を解きます。

$\log_2(x-1) + \log_{\frac{1}{2}}(3-x) \leq 0$

2. 解き方の手順

まず、真数条件を確認します。

$x-1 > 0$ かつ $3-x > 0$ である必要があります。

したがって、$x > 1$ かつ $x < 3$ となり、$1 < x < 3$ が真数条件となります。

次に、$\log_{\frac{1}{2}}(3-x)$ の底を2に変換します。

$\log_{\frac{1}{2}}(3-x) = \frac{\log_2(3-x)}{\log_2(\frac{1}{2})} = \frac{\log_2(3-x)}{-1} = -\log_2(3-x)$

したがって、与えられた不等式は次のようになります。

$\log_2(x-1) - \log_2(3-x) \leq 0$

$\log_2(x-1) \leq \log_2(3-x)$

底が2なので、真数の大小関係も同様です。

$x-1 \leq 3-x$

$2x \leq 4$

$x \leq 2$

真数条件 $1 < x < 3$ と $x \leq 2$ を満たす $x$ の範囲は、$1 < x \leq 2$ です。

3. 最終的な答え

$1 < x \leq 2$