与えられた式 $(a+b-c)(ab-bc-ca)+abc$ を展開し、整理して、因数分解を試みる問題です。画像の途中式は、展開後の整理が不完全な可能性があります。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b-c)(ab-bc-ca)+abc$ を展開し、整理して、因数分解を試みる問題です。画像の途中式は、展開後の整理が不完全な可能性があります。

2. 解き方の手順

まず、式 $(a+b-c)(ab-bc-ca)+abc$ を展開します。

$(a+b-c)(ab-bc-ca) = a(ab-bc-ca) + b(ab-bc-ca) - c(ab-bc-ca)$

$= a^2b - abc - ca^2 + ab^2 - b^2c - abc - abc + bc^2 + c^2a$

$= a^2b - ca^2 + ab^2 - b^2c + bc^2 + c^2a - 3abc$

これに $abc$ を加えると、

$a^2b - ca^2 + ab^2 - b^2c + bc^2 + c^2a - 3abc + abc = a^2b - ca^2 + ab^2 - b^2c + bc^2 + c^2a - 2abc$

次に、この式を整理します。$a$についての2次式として整理してみます。

$a^2b - ca^2 + ab^2 - b^2c + bc^2 + c^2a - 2abc = (b-c)a^2 + (b^2+c^2-2bc)a -b^2c + bc^2$

$=(b-c)a^2 + (b-c)^2a + bc(c-b) = (b-c)a^2 + (b-c)^2a - bc(b-c)$

$= (b-c)[a^2 + (b-c)a -bc]$

$= (b-c)[a^2 + ba - ca -bc]$

$= (b-c)[a(a+b) - c(a+b)]$

$= (b-c)(a+b)(a-c)$

$= -(a+b)(a-c)(c-b)$

$= (a+b)(c-a)(c-b)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(c-a)(c-b)$

もしくは

$-(a+b)(a-c)(c-b)$