与えられた式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ を因数分解しなさい。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ を因数分解しなさい。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (-3y + 5)x + (-2y^2 + 5y - 3)$

次に、定数項の $-2y^2 + 5y - 3$ を因数分解します。

$-2y^2 + 5y - 3 = -(2y^2 - 5y + 3) = -(2y - 3)(y - 1) = (3-2y)(y-1)$

与えられた式を因数分解した結果を $(ax+by+c)(dx+ey+f)$ の形で表すと仮定します。

$2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3 = (2x+y+A)(x-2y+B)$ と仮定します。

ここで、因数分解の形を見つけるために、因数分解の結果を展開し、元の式と比較します。

$(2x+y+A)(x-2y+B) = 2x^2 - 4xy + 2Bx + xy - 2y^2 + By + Ax - 2Ay + AB = 2x^2 - 3xy - 2y^2 + (2B+A)x + (B-2A)y + AB$

この展開した式と元の式を比較して、次の連立方程式が得られます。

$2B + A = 5$

$B - 2A = 5$

$AB = -3$

上記の二つの式からA,Bを求める

$2B + A = 5$ を $A = 5 - 2B$ と変形する。

$B - 2A = 5$ に代入すると $B - 2(5 - 2B) = 5$

$B - 10 + 4B = 5$

$5B = 15$

$B = 3$

$A = 5 - 2B = 5 - 2(3) = 5 - 6 = -1$

$A=-1$, $B=3$ を $AB = -3$ に代入すると $(-1)(3) = -3$　なので条件を満たしている。

よって、与えられた式の因数分解の結果は $(2x + y - 1)(x - 2y + 3)$ となります。

3. 最終的な答え

$(2x + y - 1)(x - 2y + 3)$