不等式 $\log_3(x-1) + \log_3(x+2) \leq 2$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $\log_3(x-1) + \log_3(x+2) \leq 2$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、対数の真数条件を確認します。

$x-1 > 0$ かつ $x+2 > 0$ である必要があります。

したがって、$x > 1$ かつ $x > -2$ より、$x > 1$ が必要条件となります。

次に、与えられた不等式を変形します。

$\log_3(x-1) + \log_3(x+2) \leq 2$

$\log_3((x-1)(x+2)) \leq 2$

$\log_3(x^2 + x - 2) \leq 2$

底が3なので、指数関数に変換すると不等号の向きは変わりません。

$x^2 + x - 2 \leq 3^2$

$x^2 + x - 2 \leq 9$

$x^2 + x - 11 \leq 0$

二次方程式 $x^2 + x - 11 = 0$ の解を求めます。

解の公式より、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-11)}}{2(1)}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 44}}{2}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{45}}{2}$

$x = \frac{-1 \pm 3\sqrt{5}}{2}$

したがって、$x_1 = \frac{-1 - 3\sqrt{5}}{2}$ と $x_2 = \frac{-1 + 3\sqrt{5}}{2}$ が二次方程式の解です。

不等式 $x^2 + x - 11 \leq 0$ を満たす $x$ の範囲は $\frac{-1 - 3\sqrt{5}}{2} \leq x \leq \frac{-1 + 3\sqrt{5}}{2}$ です。

真数条件 $x > 1$ と、上記の解の範囲の共通部分を求めます。

$x_1 = \frac{-1 - 3\sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1 - 3(2.236)}{2} \approx \frac{-1 - 6.708}{2} \approx -3.854$

$x_2 = \frac{-1 + 3\sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1 + 3(2.236)}{2} \approx \frac{-1 + 6.708}{2} \approx \frac{5.708}{2} \approx 2.854$

したがって、$\frac{-1 - 3\sqrt{5}}{2} \leq x \leq \frac{-1 + 3\sqrt{5}}{2}$ は約 $-3.854 \leq x \leq 2.854$ となります。

真数条件 $x > 1$ を考慮すると、$1 < x \leq \frac{-1 + 3\sqrt{5}}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$1 < x \leq \frac{-1 + 3\sqrt{5}}{2}$