複素数 $z$ が、$|z-1-i| = \sqrt{2}|z+1+i|$ を満たしながら動くとき、$|z-i|$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が、$|z-1-i| = \sqrt{2}|z+1+i|$ を満たしながら動くとき、$|z-i|$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を変形して、$z$ が描く図形を特定します。

$z=x+yi$ ($x,y$は実数)とおくと、

$|x+yi-1-i| = \sqrt{2}|x+yi+1+i|$

$|(x-1)+(y-1)i| = \sqrt{2}|(x+1)+(y+1)i|$

$\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2} = \sqrt{2}\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}$

両辺を2乗して

$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2((x+1)^2 + (y+1)^2)$

$x^2-2x+1+y^2-2y+1 = 2(x^2+2x+1+y^2+2y+1)$

$x^2-2x+1+y^2-2y+1 = 2x^2+4x+2+2y^2+4y+2$

$0 = x^2+6x+y^2+6y+2$

$x^2+6x+9 + y^2+6y+9 = 16$

$(x+3)^2 + (y+3)^2 = 4^2$

したがって、$z$ は中心 $-3-3i$, 半径 $4$ の円を描きます。

次に、$|z-i|$ の最大値を求めます。これは、円上の点 $z$ と点 $i$ との距離の最大値です。

中心 $-3-3i$ と点 $i$ の距離は、

$|-3-3i - i| = |-3-4i| = \sqrt{(-3)^2+(-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

したがって、$|z-i|$ の最大値は、中心からの距離 $5$ に半径 $4$ を加えたものです。

$|z-i|_{max} = 5 + 4 = 9$

3. 最終的な答え

9