与えられた二つの分数式を有理式と真分数式に変形する問題です。 (1) $\frac{3x^2 + 4x - 1}{x + 2}$ (2) $\frac{-4x^3 - 2x^2 + x - 5}{x^2 + x + 1}$

1. 問題の内容

与えられた二つの分数式を有理式と真分数式に変形する問題です。

(1) $\frac{3x^2 + 4x - 1}{x + 2}$

(2) $\frac{-4x^3 - 2x^2 + x - 5}{x^2 + x + 1}$

2. 解き方の手順

分数式の分子を分母で割ることで、有理式と真分数式に分解します。

(1) 分子 $3x^2 + 4x - 1$ を分母 $x + 2$ で割ります。

割り算を実行すると、商は $3x - 2$ で、余りは $3$ になります。

したがって、

$3x^2 + 4x - 1 = (x + 2)(3x - 2) + 3$

よって、

$\frac{3x^2 + 4x - 1}{x + 2} = \frac{(x + 2)(3x - 2) + 3}{x + 2} = 3x - 2 + \frac{3}{x + 2}$

(2) 分子 $-4x^3 - 2x^2 + x - 5$ を分母 $x^2 + x + 1$ で割ります。

割り算を実行すると、商は $-4x + 2$ で、余りは $-x - 7$ になります。

したがって、

$-4x^3 - 2x^2 + x - 5 = (x^2 + x + 1)(-4x + 2) + (-x - 7)$

よって、

$\frac{-4x^3 - 2x^2 + x - 5}{x^2 + x + 1} = \frac{(x^2 + x + 1)(-4x + 2) + (-x - 7)}{x^2 + x + 1} = -4x + 2 + \frac{-x - 7}{x^2 + x + 1} = -4x + 2 - \frac{x + 7}{x^2 + x + 1}$

3. 最終的な答え

(1) $3x - 2 + \frac{3}{x + 2}$

(2) $-4x + 2 - \frac{x + 7}{x^2 + x + 1}$