次の式を計算してください。 $\frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}+1} - \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-3}$

1. 問題の内容

次の式を計算してください。

$\frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}+1} - \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-3}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}+1} = \frac{(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \frac{5 - \sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 3}{5 - 1} = \frac{8 - 4\sqrt{5}}{4} = 2 - \sqrt{5}$

$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-3} = \frac{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+3)}{(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3)} = \frac{5 + 3\sqrt{5} + \sqrt{5} + 3}{5 - 9} = \frac{8 + 4\sqrt{5}}{-4} = -2 - \sqrt{5}$

したがって、

$\frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}+1} - \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-3} = (2 - \sqrt{5}) - (-2 - \sqrt{5}) = 2 - \sqrt{5} + 2 + \sqrt{5} = 4$

3. 最終的な答え

4