A, B, C, D, Eの5人がそれぞれ自分の名刺を1枚持っています。この5人が1枚ずつ名刺を取るとき、ちょうど1人だけが自分の名刺を取るような取り方は何通りあるか。

1. 問題の内容

A, B, C, D, Eの5人がそれぞれ自分の名刺を1枚持っています。この5人が1枚ずつ名刺を取るとき、ちょうど1人だけが自分の名刺を取るような取り方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、誰が自分の名刺を取るかを考えます。5人の中から1人を選ぶので、その選び方は ${}_5 C_1 = 5$ 通りです。

次に、残りの4人は誰も自分の名刺を取らないように名刺を配る必要があります。これは、完全順列（攪乱順列）の問題です。4人の完全順列の数を$D_4$とします。

$D_4$を求めるには、漸化式を利用する方法と、包除原理を利用する方法があります。ここでは包除原理を利用します。

4人の名刺の取り方は全部で$4! = 24$通りあります。

ここから、少なくとも1人が自分の名刺を取る場合を引いていきます。

- 少なくとも1人が自分の名刺を取る場合の数: ${}_4 C_1 \times 3! = 4 \times 6 = 24$

- 少なくとも2人が自分の名刺を取る場合の数: ${}_4 C_2 \times 2! = 6 \times 2 = 12$

- 少なくとも3人が自分の名刺を取る場合の数: ${}_4 C_3 \times 1! = 4 \times 1 = 4$

- 4人全員が自分の名刺を取る場合の数: ${}_4 C_4 \times 0! = 1 \times 1 = 1$

包除原理より、誰も自分の名刺を取らない場合の数（完全順列）$D_4$は次のようになります。

$D_4 = 4! - {}_4 C_1 \times 3! + {}_4 C_2 \times 2! - {}_4 C_3 \times 1! + {}_4 C_4 \times 0!$

$D_4 = 24 - 24 + 12 - 4 + 1 = 9$

したがって、1人だけが自分の名刺を取り、残りの4人は誰も自分の名刺を取らない場合の数は、

$5 \times D_4 = 5 \times 9 = 45$通りとなります。

3. 最終的な答え

45通り